Почему Луну будут осваивать со станции секонд-хэнд


В открытом космосе действует тот же закон, что и в Зазеркалье: приходится бежать со всех ног, чтобы только оставаться на месте. Внеземные обсерватории, станции и спутники рискуют улететь в неизвестность, если не будут расходовать большие запасы топлива. Но все же во Вселенной есть места, которые называют «точками без гравитации»: в них любой объект может пребывать в равновесии без значительных затрат. Их активно изучают астрономы, в них отправляют зонды и помещают космические телескопы, а еще ими успешно пользуются писатели-фантасты, чтобы добавить своим произведениям пущей достоверности.

Точки Лагранжа возникли как одно из частных решений фундаментальной проблемы небесной механики — задачи трех тел. Суть ее заключается в том, чтобы определить относительное движение трех астрономических объектов, которые взаимодействуют согласно закону тяготения Ньютона — притягиваются силами гравитации. Общего аналитического решения этой задачи не существует, однако в XVIII веке математики Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж сумели вывести устойчивые ответы для отдельных случаев — когда тела вращаются по круговым орбитам и масса двух из них значительно превышает массу третьего — и найти пять положений, в которых тела с пренебрежимо малой массой оставались неподвижными относительно двух массивных тел.
Эйлер нашел первые три точки — коллинеарные: они находятся рядом с телами, расположенными на одной прямой. Другие две вывел Лагранж — в его решении в любой момент времени тела образовывали вместе равносторонние треугольники.

В этих положениях гравитационное притяжение двух больших масс уравновешивалось центробежными силами и давало возможность третьему небольшому объекту рядом с ними оставаться в определенном месте. В 1772 году Лагранж обобщил все полученные решения и описал эти области — он назвал их точками либрации — в «Эссе о задаче трех тел», за которое получил премию Французской академии наук. Впоследствии точки назвали его именем.

Источник: commons.wikimedia.org

Источник: commons.wikimedia.org

Почти все выведенные Лагранжем и Эйлером положения используются сегодня в рамках системы Земля — Солнце.

L1

В системе Солнце — Земля L1 располагается на расстоянии 1,6 млн километров от планеты и обеспечивает непрерывный вид на светило, не перекрываемый ни Луной, ни Землей. Именно там размещается Солнечная и гелиосферная обсерватория (SOHO).

Корона — внешние слои атмосферы Солнца или другой звезды. Солнечную корону можно увидеть невооруженным глазом во время затмения.

Рядом с L1, в 2,5 млн километров от Земли, работают другие аппараты: Advanced Composition Explorer (ACE), запущенный НАСА для изучения энергетических частиц солнечного ветра, межпланетной и межзвездной среды и галактической материи; WIND — проект Глобальной геокосмической программы, исследующий взаимодействие солнечного ветра с магнитным полем Земли; и Deep Space Climate Observatory (DSCOVR), разработанный НАСА совместно с Национальным управлением океанических и атмосферных исследований для наблюдения за состоянием атмосферы Земли и выбросами веществ из солнечной короны*.

Запуск DSCOVR был знаковым для компании SpaceX: впервые с помощью их ракеты Falcon9 спутник отправился за пределы земной орбиты.

В системе Земля — Луна первая точка Лагранжа — безупречный претендент на место «космической заправки» для транспорта, отправляющегося на спутник. Останавливающиеся там корабли смогли бы преодолевать путь с минимальными затратами топлива, а сама станция могла быть стать основным узлом грузового потока между планетой и Луной.

НАСА шлет космонавтов далеко и надолго

Автор Ирина Шлионская

16.02.2012 07:00

Наука » Экология » Космос

Национальное управление по аэронавтике и исследованию космического пространства недавно выпустило меморандум, в котором говорится о предстоящей разработке комплексного проекта реализации пилотируемых полетов к так называемой второй точке Лагранжа. Она расположена на расстоянии около 60 тысяч километров от невидимой для нас «теневой» стороны Луны.

9 поделились

Точками Лагранжа называют точки, лежащие в плоскости орбит двух массивных тел (в данном случае Земли и Луны), в которых может находиться третий объект с пренебрежимо малой массой, при этом на него не действуют никакие другие силы, кроме гравитационного воздействия со стороны этих двух тел большой массы.

Ранее сотрудники НАСА уже выступали с заявлениями о том, что вторая точка Лагранжа (L2) является «ключевой возможностью» для Соединенных Штатов в освоении космоса на близкую перспективу.

L2

В случае с Землей и Солнцем L2 не вращается вокруг планеты, не попадает в ее тень, объекты в ней не нагреваются и не охлаждаются, а обзор не искажается. Все это позволяет телескопам рассматривать дальние глубины космоса, получая солнечную энергию и связываясь с Землей. В ней располагаются аппарат НАСА Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) для изучения космического фонового излучения, оставшегося от Большого взрыва, и несколько спутников Европейского космического агентства (ЕКА): Planck, запущенный с теми же целями, что и WMAP; Herschel, исследующий инфракрасное излучение в космосе; и Gaia, занятый составлением подробной карты звезд нашей Галактики. Поскольку именно в этой точке можно вести самые перспективные исследования космоса, в нее в 2024 году НАСА отправит еще один телескоп — PLATO, который будет искать экзопланеты, а ЕКА запустит на смену культовому «Хабблу» телескоп Джеймса Уэбба (JWST) — инфракрасную обсерваторию, которая будет исследовать планеты, экзопланеты, галактики и квазары.

L3

Поскольку L3 в системе Солнце — Земля все время остается скрытой за Солнцем, астрономы не видят большого смысла отправлять туда технику. Хотя в 2007 году НАСА все же запустило в L3 два спутника STEREO на поиски Противоземли. У этой гипотетической планеты, впервые появившейся на бумагах пифагорейцев, постепенно появлялись все новые имена: ее называли Антиземлей, Антихтоном, Глорией и Вулканом. Считалось, что она находится на том же удалении от Солнца, что и наша планета, и движется синхронно с ней. Земной двойник появлялся и на древнеегипетских гробницах: в центре изображений находилось светило, связывающее прямыми линиями две одинаковые сферы по разные стороны от него.

Таинственный объект не давал астрономам покоя столетиями: начиная с XVII века его наблюдал директор Парижской обсерватории Джованни Кассини, приняв Глорию за спутник Венеры (хотя позже выяснилось, что у нее вообще нет лун); в том же месте, что и Кассини, неизвестное серповидное тело видели в XVIII веке с интервалом в один-два года астрономы Джеймс Шорт, Иоганн Майер и Жак Монтень. Однако после этого загадочная планета исчезла, и никому не удавалось ее обнаружить. Но ее существование объяснило бы несостыковки в движении Венеры и Марса, которые то отстают от своего графика, то опережает его, и появилась новая гипотеза: Глория имеет такую траекторию, что увидеть ее с Земли можно лишь раз в ограниченный отрезок времени — например, в тысячелетие. Впрочем, зонды, запущенные НАСА, не нашли в районе точки L3 никакого земного антипода, и мнения ученых разделились: одни утверждали, что его никогда там и не было, другие же сочли, что он просто сошел со своей орбиты.

Лагранжа точки

ЛАГРАНЖА ТОЧКИ (точки либрации), точки в пространстве, в которых тело малой массы может находиться в относительном равновесии по отношению к двум другим небесным телам (в так называемой ограниченной задаче трёх тел).

Аналитическое решение общей задачи трёх тел имеет вид абсолютно сходящихся рядов, из-за чрезвычайно медленной сходимости которых это решение для астрономических приложений практически бесполезно. Однако существуют пять строгих частных решений этой задачи, которым соответствуют движения с сохранением особых конфигураций в расположении трёх тел: тела образуют равносторонний треугольник (треугольная конфигурация) или располагаются на одной прямой (прямолинейная конфигурация). Такие же точные частные решения существуют и в ограниченной задаче трёх тел, в которой исследуется движение тела пренебрежимо малой массы в гравитационном поле двух тел конечной массы. В ограниченной круговой задаче трёх тел этим стационарным частным решениям соответствуют неподвижные точки (Лагранжа точки), лежащие в плоскости орбитального движения двух главных притягивающих тел, если рассматривается движение относительно неинерциальной барицентрической системы отсчёта, вращающейся вместе с главными притягивающими телами. Существует пять Лагранжа точек: три так называемые коллинеарные точки (L1, L2 и L3, смотри рисунок) и две так называемые треугольные точки (L4 и L5).

В Лагранжа точках силы всемирного тяготения, действующие на тело малой массы со стороны двух главных центров притяжения, уравновешиваются центробежной силой инерции, существующей во вращающейся системе отсчёта. Тело пренебрежимо малой массы, помещённое в любую из пяти Лагранжа точек, в рассматриваемой неинерциальной системе отсчёта будет иметь нулевую скорость и нулевое ускорение.

Лагранжа точки называют также точками либрации (от латинского libro — колебаться), что обусловлено существованием в окрестности каждой из этих точек частных периодических движений по эллиптическим орбитам. В современной небесной механике не существует единообразия в наименовании точек либрации. Так, например, коллинеарные точки либрации часто называют эйлеровыми, так как впервые соответствующие им прямолинейные частные решения ограниченной задачи трёх тел были получены Л. Эйлером в 1767 году. Наименование «Лагранжа точки» принято благодаря их описанию в работе Ж. Лагранжа «О задаче трёх тел» (1772). Все пять точек либрации именуются также лапласовыми точками на том основании, что они были включены П. Лапласом в его «Трактат о небесной механике» (1798) без всяких ссылок на предшественников.

Лагранж считал открытые им точные решения задачи трёх тел «математическим курьёзом», не имеющим никакого практического приложения к реальным тройным системам небесных тел. Этот вывод был опровергнут в 1906 году, когда немецкий астроном М. Вольф обнаружил астероид Ахилл, первый из группы астероидов, расположенных в районе треугольных Лагранжа точек системы Солнце — Юпитер (смотри Троянцы в астрономии). Треугольные точки либрации иногда называют гравитационными ловушками, т.к. вблизи них могут существовать скопления частиц метеорного вещества и даже группы астероидов. На использовании динамических свойств точек либрации базируется одна из перспективных стратегий освоения межпланетного пространства. Несколько космических обсерваторий размещены в окрестностях Лагранжа точек системы Земля — Солнце [например, в районе точки L1 — обсерватория SOHO (Solar and Heliospheric Observátory)]. Точка L1 системы Земля — Луна рассматривается как место для размещения ретрансляционной станции на период предполагаемого освоения Луны. Предложен ряд проектов, предусматривающих создание в окрестности Лагранжа точек тел Солнечной системы спасательных станций, депо для межпланетных кораблей и даже космических мегаполисов. Понятие Лагранжа точек нашло приложение и в звёздной астрофизике: внутренняя Лагранжа точка (L1) играет ключевую роль в теории тесных двойных звёзд.

Лит.: Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. 2-е изд. М., 1976; Дубошин Г. Н. Небесная механика. М., 1983.

Г. И. Ширмин.

Космические воины

Равновесие в первых трех точках достаточно ненадежное: объектам, расположенным в них, все равно нужно прилагать технические усилия, чтобы оставаться на месте. В особенности это сложно в L3 Солнца и Земли, которая из-за действия других планет (больше всех — Венеры) прямо-таки шатается. Космический корабль или астероид, находящийся там, должен иметь ту же частоту обращения вокруг Солнца, что и Земля: если она будет меньше, объект упадет на Солнце, если больше — улетит. Но даже если параметры окажутся подходящими, по словам Нила Деграсса Тайсона, он будет с трудом сохранять устойчивость, «как плохо сбалансированная тележка на крутом холме». Спутникам же в первых двух позициях приходится регулярно корректировать курс.

А вот

L4 и L5 находятся посередине двух массивных тел, и силы их притяжения соотносятся в тех же пропорциях, что и массы. Поэтому они по-настоящему стабильны, и попавшие в них объекты могут остаться там навсегда.

L4 и L5 системы Солнце — Земля находятся на расстоянии 150 млн километров от нашей планеты. Там не находится никаких рукотворных сооружений, зато они изобилуют важными для ученых астрономическими находками и их активно изучают в окраинах всех планет.

После того как в 1906 году немецкий астроном Максимилиан Вольф обнаружил астероид в четвертой либрационной точке системы Солнце — Юпитер и дал ему имя Ахиллес, небесные тела, найденные рядом с L4 и L5, называют в честь героев Троянской войны, описанных Гомером в «Илиаде». Те, что находятся в 60° впереди планеты, входят в «ахейский лагерь» — Патрокл, Нестор, Агамемнон, Одиссей, Менелай; отстающие на 60° — собственно, сами троянцы — Гектор, Приам, Эней, Асканий. Всего рядом с Юпитером их найдено около пяти тысяч, и потому многие из них носят лишь численное обозначение.

Несмотря на то что основной дом для астероидов этого типа — Юпитер, троянцев находят также рядом с Марсом, Нептуном и Ураном. В земной точке L4 есть всего один такой объект — 2010 ТК7, 300-метровая скала, которую обнаружил инфракрасный космический телескоп НАСА Wide-Field Infrared Survey Explorer (WISE).

На поиски астероидов в троянской системе Земли возлагают большие надежды: поскольку добраться туда значительно проще, чем до Луны, именно с них может начаться промышленное освоение космоса.

С их поверхности можно осуществлять более экономичный старт, и их можно использовать для добычи железа, никеля и титана. Впрочем, 2010 ТК7 едва ли сможет обогатить человечество: его орбита наклонена, из-за чего троянец колеблется в вертикальной плоскости настолько сильно, что полет к нему потребует вдвое большего количества топлива, чем к любому другому околоземному астероиду.

В троянской системе Сатурна астероидов нет, зато наблюдаются спутники. Они обращаются не вокруг Солнца, а вокруг планеты — вернее, вокруг одной из многочисленных ее лун. Наиболее крупная — Тефия — имеет два троянских спутника, Телесто и Калипсо, следующая по величине — Диона — сопровождается Еленой и Полидевком. Тефия и Диона в несколько сотен раз тяжелее сателлитов и значительно легче самой планеты, и именно это делает их систему столь стабильной.

Источник: commons.wikimedia.org

Что такое «точки Лагранжа»?

Когда Жозеф Луи Лагранж работал над задачей двух массивных тел (ограниченной задачей трёх тел), он обнаружил, что в такой системе существует 5 точек, обладающих следующим свойством: если в них расположены тела пренебрежимо малой массы (относительно массивных тел), то эти тела будет неподвижны относительно тех двух массивных тел. Важный момент: массивные тела должны вращаться вокруг общего центра масс, если же они каким-то образом будут просто покоиться, то вся эта теория тут неприменима, сейчас поймете, почему.

Самым удачным примером, конечно же, является Солнце и Земля, их и рассмотрим. Первые три точки L1, L2, L3 находятся на линии, соединяющей центры масс Земли и Солнца.

Точка L1 находится между телами (ближе к Земле). Почему она есть? Представьте, что между Землей и Солнцем какой нибудь маленький астероид, который вращается вокруг Солнца. Как правило, у тел внутри земной орбиты частота обращения выше, чем у Земли (но не обязательно) Так вот, если у нашего астероида частота обращения выше, то он время от времени будет пролетать мимо нашей планеты, и она будет тормозить его своей гравитацией, и в конце концов частота обращения астероида станет такой же, как и у Земли. Если же у Земли частота обращения больше, то она, пролетая время от времени мимо астероида будет тянуть его за собой и разгонять и результат тот же: частоты обращения Земли и астероида сравняются. Но такое возможно только если орбита астероида проходит через точку L1.

Точка L2 находится за Землей. Может показаться, что наш воображаемый астероид в этой точке должен притягиваться к Земле и Солнцу, так как они оказались с одной стороны от него, но нет. Не забывайте, что система вращается, и благодаря этому центробежная сила, действующая на астероид, уравнивается гравитационными силами Земли и Солнца. У тел за пределами земной орбиты, в основном, частота обращения меньше, чем у Земли (опять же, не всегда). Так что суть та же: орбита астероида проходит через L2 и Земля, время от времени пролетая мимо, тянет астероид за собой, в конечном счете уравнивая частоту его обращения со своей.

Точка L3 находится за Солнцем. Помните, раньше у фантастов была такая мысль, что с той стороны Солнца находится ещё одна планета, типа Противоземля? Так вот, точка L3 находится почти там, но чуть-чуть подальше от Солнца, а не ровно на земной орбите, так как не совпадает с центром масс Солнца. С частотой обращения астероида в точке L3 всё очевидно, она должна быть такой же как у Земли; если будет меньше, астероид упадет на Солнце, если больше — улетит. Кстати, данная точка самая не устойчивая, её шатает из-за влияния других планет, особенно Венеры.

L4 и L5 расположены на орбите, которая чуть больше Земной, причём следующим образом: представьте, что из мы провели луч к Земле и другой луч, так чтобы угол между этими лучами был 60 градусов. Причем в обе стороны, то есть против часовой стрелки и по ней. Так вот, на одном таком луче находиться L4, а на другом L5. L4 будет перед Землей по ходу движения, то есть как бы убегать от Земли, а L5, соответственно, догонять Землю. Расстояния от любой из этих точек до Земли и до Солнца одинаковы. Теперь, вспомнив закон всемирного тяготения, замечаем, что сила притяжения пропорциональна массе, а значит наш астероид в L4 или L5 будет притягиваться к Земле во столько раз слабее, во сколько Земля легче Солнца. Если чисто геометрически построить векторы этих сил, то их равнодействующая будет направлена ровно на барицентр (). Солнце с Землей вращаются вокруг барицентра с одинаковой частотой, с той же частотой будут вращаться и астероиды в L4 и L5. L4 называют греками, а L5 — троянцами в честь троянских астероидов Юпитера (подробнее на Вики).

Точки L1 и L2 идеально подходят для расположения космических обсерваторий, а L1 еще и для пилотируемой орбитальной станции. L3 удобна для расположения станции, следящей за активность Солнца и связи с кораблями, отправленными в дальние миссии.

Республика Лагранжия для колонистов

Поскольку точки L4 и L5 находятся достаточно близко к Земле и при этом стабильны, сторонники идеи колонизации космоса всерьез рассматривают их в качестве идеального места для переселения. Первым эту возможность активно пропагандировал американский астрофизик и активист Джерард О’Нилл, опубликовавший в сентябрьском номере журнала Physics Today за 1974 год статью «Колонизация космоса». Самых преданных поклонников он обрел в лице Кэролайн Майнел и Кита Хенсела, пары из Аризоны, которая выступила спустя год на организованной О’Ниллом конференции по космическому производству в Принстонском университете. Тогда же они основали «Общество L5», собрав всех сторонников идеи построить огромные вращающиеся станции «Цилиндр О’Нилла», или «Остров III», в четвертой и пятой точках и начать с них колонизацию Солнечной системы.

«Остров» О’Нилла — это два цилиндра по 8 км в диаметре и 32 км в длину, способные вместить колонию из 10 тысяч человек. Они вращаются в противоположных направлениях, за счет центробежной силы устанавливая на корабле искусственную гравитацию,

привычную для человеческого организма. Физик решил обеспечить станцию атмосферой, состоящей на 40% из кислорода и на 60% — из азота, с давлением, равным половине земного. Такое соотношение помогло бы сохранить воздух и ослабить нагрузку на стены, а внешние щиты из реголита уберегли бы членов экипажа от губительного действия космического излучения. Корабль снабжен промышленным блоком, где можно производить различные материалы, и кольцами, которые также крутятся с разными скоростями, обеспечивая условия для ведения внутри судна сельского хозяйства.

О’Нилл предусмотрел не только пригодные для обитания человека условия, но и экономичное строительство судна: согласно его проекту, «Цилиндры» должны быть изготовлены из космических материалов, добытых, например, с Луны и доставленных на Землю с помощью электромагнитной катапульты, чей прототип О’Нилл сконструировал вместе с профессором физики из Массачусетского технологического института Генри Кольмом.

Самую громкую кампанию члены «Общества L5» провели в 1980 году, когда выступали против ратификации Лунного договора ООН (Соглашение о деятельности государств на Луне и других небесных телах). Главную претензию у них вызывал пункт, согласно которому добытые ресурсы и технологии, использованные для этих целей, передаются развивающимся странам, которые не инвестировали средства в проекты и не принимали на себя риски, связанные с использованием лунных запасов. «Обществу L5» не нравилась идея запретить любую форму суверенитета или частной собственности во внеземном пространстве (потому что это сделало бы колонизацию космоса невозможной), как и идея запретить изменения окружающей среды любого небесного тела — в том числе терраформирование, «подгонку» климатических условий астрономического объекта под нужды человечества. В конечном итоге сенат США отказался ратифицировать соглашение, как и все остальные государства, которые занимались самостоятельным исследованием космоса, а Общество, по словам О’Нилла, «вступило в самую крупную политическую битву за свою жизнь и победило».

Главным образом представители союза знакомили публику со своими намерениями через L5 News — небольшой информационный бюллетень, который под редакторством Кэролайн Хенсон вырос в достаточно авторитетный журнал. К 1986 году число членов общества достигло 10 тысяч, и его президенты решили объединиться с Национальным космическим институтом, основанным инженером-ракетостроителем Вернером фон Брауном. В результате слияния возникло Национальное космическое общество — правозащитная организация, которая продвигает идею формирования колоний за пределами Земли. Вместо L5 News союз стал издавать журнал Ad Astra («К звездам») об освоении космоса, который впоследствии получил множество наград.

Помимо «Общества L5», мысль о колонизации точек Лагранжа популяризировали члены другого объединения — «Республика Лагранжия», которые также отталкивались от идей О’Нилла, видя в них мощное средство для улучшения качества жизни всего населения планеты. Они получают финансирование за счет краудфандинга и ведут онлайн-блог, в котором рассказывают обо всех технологиях, так или иначе подталкивающих человечество к переселению на новые территории.

Несмотря на то что О’Нилл и его последователи доказали миру, что создать в космосе пригодные для жизни человека условия действительно возможно, проект так и не осуществили. И дело не только в его высокой стоимости: хоть строительство станции и оценили в $100 млрд (по курсу 1970-х годов), на ней предусмотрена система зеркал, которая будет передавать на Землю солнечную энергию, что позволит окупить сооружение меньше чем за 10 лет. Астрофизик предусмотрел много деталей, но так и не смог решить проблему экологии: вывод на орбиту большого количества грузов будет оставаться крайне нежелательным до тех пор, пока не будет изобретен космический лифт.

Решение дифференциального уравнения Лагранжа

Рассмотрим дифференциальное уравнение Лагранжа: (1)
, где и – это функции. Будем искать его решение в параметрическом виде. То есть будем считать, что , , а также производная являются функциями от параметра . Положим . Поставим в (1):
(2)
. Продифференцируем по :
(3)
. С другой стороны:
(4)
. Левые части уравнений (3) и (4) равны. Приравниваем правые части и выполняем преобразования: ; .

Разделим на . При уравнение принимает вид: . Это линейное дифференциальное уравнение относительно переменной . Решая его, получаем зависимость переменной от параметра : . Затем подставляем в (2): (2)

. В результате получаем зависимость переменной от параметра : . То есть мы получили параметрическое представление решения уравнения (1).

Земля по ту сторону Солнца

Области Лагранжа — настоящий дар для писателей, создающих научно-фантастические произведения. Помещая в точки либрации космические станции или обсерватории, они придают своим работам реалистичность. Это стержень, на который можно нанизывать элементы психологической драмы, криминального триллера или приключенческого романа.

Самой «растиражированной» точкой стала L3 — находящаяся в ней гипотетическая Противоземля не дает покоя не только астрономам, но и десяткам писателей и сценаристов, которые через фантастические допущения исследуют внутренний мир человека. Истории о двойниках — идентичных или же представляющих темную сторону личности — как нельзя лучше вкладываются в повествование о второй Земле, населенной теми же самыми людьми.

Впервые идеей «второй Земли» воспользовался в 1924 году Эдгар Уоллес. В повести «Планетоид 127» он поместил в обозначенную Лагранжем точку за Солнцем планету Вулкан, с жителями которой главные герои связываются по радио. В этой истории в жанре криминального триллера земные персонажи отличаются неуемной жаждой власти и знаний, которые можно получить от более развитой цивилизации.

В своем дебютном романе в жанре альтернативной истории «Из этого мира» фантаст Бен Барзман описал параллельную Земле планету, спрятанную за Солнцем, которая развивалась точно так же от сотворения до начала ХХ века. Но на Противоземле не было Второй мировой войны, и именно с этого момента пути планет и населяющих их цивилизаций расходятся. Ее жители, намного опередившие землян в развитии и науках, отправляют на Землю делегацию, чтобы определить, достойны ли ее жители их высокотехнологичных подарков, а пострадавшие от войны люди находят во взаимодействии с другой Землей исцеление.

В той же L3 происходит действие «Ады» Владимира Набокова. На противоположной стороне орбиты Земли у него располагается Анти-Терра, и писатель пользуется этим допущением, чтобы рассказать историю любви брата и сестры в мире, где нет фашизма, но есть Золотая Орда.

В фильме Роберта Пэрриша «Путешествие по ту сторону Солнца» завязкой служит открытие учеными спрятанной за Солнцем планеты, находящейся на противоположной точке орбиты. Туда отправляется исследовательская экспедиция, однако корабль терпит крушение, а единственный выживший член экипажа не знает, на какой из планет — Земле или ее двойнике — он находится. В эту фантастическую оболочку сценаристы Джерри и Сильвия Андерсон поместили немецкую легенду о Doppelgänger (это слово вынесено в оригинальное заглавие фильма и означает «копия себя»), согласно которой встреча с двойником сулит смерть.

Практически тот же сюжет лежит в основе фильма-антиутопии Ли Х. Кацина «Незнакомец». На зеркальной планете после войны установилась диктатура «Идеального ордена», или «Прекрасного порядка», который тщательно следит за всеми жителями через телефоны, телевизоры и радиоприемники и вдохновляющими речами воспитывает в людях семейное чувство принадлежности Терре — так называется вторая Земля. В этом мире запрещена религия и истреблена культура, а людей, высказывающих несовместимые с общим порядком идеи, казнят.

На теории Антихтона также основан сюжет фильма «Другая Земля», задуманный Брит Марлинг, которая также снялась в главной роли. На научный каркас — обнаружение астрономами Земли-2 — накладывается психологическая драма о том, как виновница автокатастрофы, выйдя из тюрьмы, пытается сблизиться с потерпевшим и одновременно участвует в конкурсе на место в экспедиции к новой планете.

Функция Лагранжа и метод множителей Лагранжа

Метод множителей Лагранжа является классическим методом решения задач математического программирования (в частности выпуклого). К сожалению, при практическом применении метода могут встретиться значительные вычислительные трудности, сужающие область его использования. Мы рассматриваем здесь метод Лагранжа главным образом потому, что он является аппаратом, активно используемым для обоснования различных современных численных методов, широко применяемых на практике. Что же касается функции Лагранжа и множителей Лагранжа, то они играют самостоятельную и исключительно важную роль в теории и приложениях не только математического программирования.

Рассмотрим классическую задачу оптимизации:

Среди ограничений этой задачи нет неравенств, нет условий неотрицательности переменных, их дискретности, и функции и непрерывны и имеют частные производные по крайней мере второго порядка.

Классический подход к решению задачи дает систему уравнений (необходимые условия), которым должна удовлетворять точка , доставляющая функции локальный экстремум на множестве точек, удовлетворяющих ограничениям (для задачи выпуклого программирования найденная точка будет одновременно и точкой глобального экстремума).

Предположим, что в точке функция (1) имеет локальный условный экстремум и ранг матрицы равен . Тогда необходимые условия запишутся в виде:

где

есть функция Лагранжа; – множители Лагранжа.

Существуют также и достаточные условия, при выполнении которых решение системы уравнений (3) определяет точку экстремума функции . Этот вопрос решается на основании исследования знака второго дифференциала функции Лагранжа. Однако достаточные условия представляют главным образом теоретический интерес.

Можно указать следующий порядок решения задачи (1), (2) методом множителей Лагранжа:

1) составить функцию Лагранжа (4);

2) найти частные производные функции Лагранжа по всем переменным и приравнять их

нулю. Тем самым будет получена система (3, состоящая из уравнений. Решить полученную систему (если это окажется возможным!) и найти таким образом все стационарные точки функции Лагранжа;

3) из стационарных точек, взятых без координат выбрать точки, в которых функция имеет условные локальные экстремумы при наличии ограничений (2). Этот выбор осуществляется, например, с применением достаточных условий локального экстремума. Часто исследование упрощается, если использовать конкретные условия задачи.

Ступенька к космосу

Червоточина (кротовая нора) — «тоннель», связывающий две точки в пространстве-времени.
Так и не реализованный О’Ниллом «Остров III» в L5 воплотили в жизнь персонажи «Интерстеллара» по сценарию Кристофера и Джонатана Ноланов: именно на него в конце фильма попадает Джонатан Купер. Это масштабная вращающаяся космическая станция-колония на орбите Сатурна, расположенная недалеко от червоточины**, на станцию эвакуировали людей с гибнущей Земли; на ней создана искусственная гравитация за счет центробежной силы и отдан большой отсек для ведения сельского хозяйства.

Впрочем, еще до О’Нилла схожее сооружение предложил Артур Кларк в романе «Свидание с Рамой»: он описал огромный цилиндрический корабль, снабженный всеми условиями обитания — кислородом, морем и созданной центробежной силой гравитацией. Кларк не раз пользовался этой идеей: в книге «Солнечная буря», написанной в соавторстве со Стивеном Бакстером, он поместил в точку L2 системы Земля — Солнце космическую станцию, на которой земная элита скрывается от планетарной катастрофы. Кроме того, обитаемые станции в точках L1 и L2 системы Земля — Луна появляются у него в романе «Лунная пыль».

Другой великий фантаст, Роберт Хайнлайн, расположил гигантские космические станции Ell Three, Ell Four и Ell Five в три лагранжевы точки на орбите Земли в романе «Фрайди», где сделал их центрами космической торговли. Эти образы стали настоящим клише для вымышленных внеземных городов: на их фоне происходит действие трилогии «Лагранж-5» Мака Рейнольдса и Дина Инга, книги «Банк памяти» Джона Стица, «Райский заговор» Эда Нэха, «Колония» Бена Бовы, «Возвращение к звездам» Гарри Гаррисона, «Защитник» Ларри Нивена. Во всех этих произведениях точки L4 и L5 служат местом, где разворачивается основное действие.

ЛАГРА́НЖА ТО́ЧКИ

ЛАГРА́НЖА ТО́ЧКИ (точ­ки либ­ра­ции), точ­ки в про­стран­ст­ве, в ко­то­рых те­ло ма­лой мас­сы мо­жет на­хо­дить­ся в от­но­сит. рав­но­ве­сии по от­но­ше­нию к двум др. не­бес­ным те­лам (в т. н. ог­ра­ни­чен­ной за­да­че трёх тел).

Схема расположения точек Лагранжа в системе Земля (З) – Луна (Л).

Ана­ли­тич. ре­ше­ние об­щей за­да­чи трёх тел име­ет вид аб­со­лют­но схо­дя­щих­ся ря­дов, из-за чрез­вы­чай­но мед­лен­ной схо­ди­мо­сти ко­то­рых это ре­ше­ние для ас­тро­но­мич. при­ло­же­ний прак­ти­че­ски бес­по­лез­но. Од­на­ко су­ще­ст­ву­ют пять стро­гих ча­ст­ных ре­ше­ний этой за­да­чи, ко­то­рым со­от­вет­ст­ву­ют дви­же­ния с со­хра­не­ни­ем осо­бых кон­фи­гу­ра­ций в рас­по­ло­же­нии трёх тел: те­ла об­ра­зу­ют рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник (тре­уголь­ная кон­фи­гу­ра­ция) или рас­по­ла­га­ют­ся на од­ной пря­мой (пря­мо­ли­ней­ная кон­фи­гу­ра­ция). Та­кие же точ­ные ча­ст­ные ре­ше­ния су­ще­ст­ву­ют и в ог­ра­ни­чен­ной за­да­че трёх тел, в ко­то­рой ис­сле­ду­ет­ся дви­же­ние те­ла пре­неб­ре­жи­мо ма­лой мас­сы в гра­ви­тац. по­ле двух тел ко­неч­ной мас­сы. В ог­ра­ни­чен­ной кру­го­вой за­да­че трёх тел этим ста­цио­нар­ным ча­ст­ным ре­ше­ни­ям со­от­вет­ст­ву­ют не­под­виж­ные точ­ки (Л. т.), ле­жа­щие в плос­ко­сти ор­би­таль­но­го дви­же­ния двух глав­ных при­тя­ги­ваю­щих тел, ес­ли рас­смат­ри­ва­ет­ся дви­же­ние от­но­си­тель­но не­инер­ци­аль­ной ба­ри­цен­три­че­ской сис­те­мы от­счё­та, вра­щаю­щей­ся вме­сте с глав­ны­ми при­тя­ги­ваю­щи­ми те­ла­ми. Су­ще­ст­ву­ет пять Л. т.: три т. н. кол­ли­не­ар­ные точ­ки (L1, L2 и L3, см. рис.) и две т. н. тре­уголь­ные точ­ки (L4 и L5).

В Л. т. си­лы все­мир­но­го тя­го­те­ния, дей­ст­вую­щие на те­ло ма­лой мас­сы со сто­ро­ны двух гл. цен­тров при­тя­же­ния, урав­но­ве­ши­ва­ют­ся цен­тро­беж­ной си­лой инер­ции, су­ще­ст­вую­щей во вра­щаю­щей­ся сис­те­ме от­счё­та. Те­ло пре­неб­ре­жи­мо ма­лой мас­сы, по­ме­щён­ное в лю­бую из пя­ти Л. т., в рас­смат­ри­вае­мой не­инер­ци­аль­ной сис­те­ме от­счё­та бу­дет иметь ну­ле­вую ско­рость и ну­ле­вое ус­ко­ре­ние.

Л. т. на­зы­ва­ют так­же точ­ка­ми либ­ра­ции (от лат. libro – ко­ле­бать­ся), что обу­слов­ле­но су­ще­ст­во­ва­ни­ем в ок­ре­ст­но­сти ка­ж­дой из этих то­чек ча­ст­ных пе­рио­дич. дви­же­ний по эл­лип­тич. ор­би­там. В совр. не­бес­ной ме­ха­ни­ке не су­ще­ст­ву­ет еди­но­об­ра­зия в на­име­но­ва­нии то­чек либ­ра­ции. Так, напр., кол­ли­не­ар­ные точ­ки либ­ра­ции час­то на­зы­ва­ют эй­ле­ро­вы­ми, т. к. впер­вые со­от­вет­ст­вую­щие им пря­мо­ли­ней­ные ча­ст­ные ре­ше­ния ог­ра­ни­чен­ной за­да­чи трёх тел бы­ли получе­ны Л. Эй­ле­ром в 1767. На­име­но­ва­ние «Л. т.» при­ня­то бла­го­да­ря их опи­са­нию в ра­бо­те Ж. Ла­гран­жа «О за­да­че трёх тел» (1772). Все пять то­чек либ­ра­ции име­ну­ют­ся так­же ла­п­ла­со­вы­ми точ­ками на том ос­но­ва­нии, что они бы­ли вклю­че­ны П. Ла­п­ла­сом в его «Трак­тат о не­бес­ной ме­ха­ни­ке» (1798) без вся­ких ссы­лок на пред­ше­ст­вен­ни­ков.

Ла­гранж счи­тал от­кры­тые им точ­ные ре­ше­ния за­да­чи трёх тел «ма­те­ма­ти­че­ским курь­ё­зом», не имею­щим ни­ка­ко­го прак­тич. при­ло­же­ния к ре­аль­ным трой­ным сис­те­мам не­бес­ных тел. Этот вы­вод был оп­ро­верг­нут в 1906, ко­гда нем. ас­тро­ном М. Вольф об­на­ру­жил ас­те­ро­ид Ахилл, пер­вый из груп­пы ас­те­рои­дов, рас­по­ло­жен­ных в рай­оне тре­уголь­ных Л. т. сис­те­мы Солн­це – Юпи­тер (см. Тро­ян­цы в ас­тро­но­мии). Тре­уголь­ные точ­ки либ­ра­ции ино­гда на­зы­ва­ют гра­ви­тац. ло­вуш­ка­ми, т. к. вбли­зи них мо­гут су­ще­ст­во­вать ско­п­ле­ния час­тиц ме­те­ор­но­го ве­ще­ст­ва и да­же груп­пы ас­те­рои­дов. На ис­поль­зо­ва­нии ди­на­мич. свойств то­чек либ­ра­ции ба­зи­ру­ет­ся од­на из пер­спек­тив­ных стра­те­гий ос­вое­ния меж­пла­нет­но­го про­стран­ст­ва. Неск. кос­мич. об­сер­ва­то­рий раз­ме­ще­ны в ок­ре­ст­но­стях Л. т. сис­те­мы Зем­ля – Солн­це [напр., в рай­оне точ­ки L1 – об­сер­ва­то­рия SOHO (Solar and Heliospheric Observatory)]. Точ­ка L1 сис­те­мы Зем­ля – Лу­на рас­смат­ри­ва­ет­ся как ме­сто для раз­ме­ще­ния ре­транс­ля­ци­он­ной стан­ции на пе­ри­од пред­по­ла­гае­мо­го ос­вое­ния Лу­ны. Пред­ло­жен ряд про­ек­тов, пре­ду­смат­ри­ваю­щих соз­да­ние в ок­ре­ст­но­сти Л. т. тел Сол­неч­ной сис­те­мы спа­са­тель­ных стан­ций, де­по для меж­пла­нет­ных ко­раб­лей и да­же кос­мич. ме­га­по­ли­сов. По­ня­тие Л. т. на­шло при­ло­же­ние и в звёзд­ной ас­т­ро­фи­зи­ке: внут­рен­няя Л. т. (L1) иг­ра­ет клю­че­вую роль в тео­рии тес­ных двой­ных звёзд.

На задворках Солнечной системы

Зачастую точки Лагранжа в фантастике не служат основным местом действия, а лишь появляются в нескольких эпизодах произведения в качестве экзотического антуража. В произведении Ларри Нивена и Джерри Пурнелла «Мошка в зенице Господней» в точки L4 и L5 Юпитера собраны все астероиды, которые мешают навигации. В романе Орсона Скотта Карда «Игра Эндера» в одной из троянских либрационных точек находится Боевая школа. А в книгах «Единение разумов» Чарльза Шеффилда и «Нептунова арфа» отечественного фантаста Андрея Балабухи в лагранжевых точках находятся свалки — собственно, там и в самом деле можно найти много космического мусора.

Свободные точки L3, L4 и L5

Точка L3 в системе Солнце-Земля находится за звездой, поэтому с Земли ее нельзя наблюдать. Точка не используется никак, поскольку она является нестабильной из-за влияния гравитации других планет, например, Венеры.

Точки L4 и L5 являются самыми стабильными областями Лагранжа, поэтому практически около каждой планеты в них находятся астероиды или космическая пыль. Например, в этих точках Лагранжа Луны существует только космическая пыль, а в L4 и L5 Юпитера расположены троянские астероиды.

Троянские астероиды Юпитера

Литература

  • James Carlson, Arthur Jaffe, Andrew Wiles. The Millennium Prize Problems. American Mathematical Society, 2006.
  • Joseph-Louis Lagrange. Essai sur le probleme des trois corps // Ouvres. Gauthier-Villars, Paris. 1772. Vol. 6, pp. 272–292.
  • Leonhard Euler. Considerationes de motu corporum coelestium //Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1764. Vol. 10, pp. 544–558.
  • C.M. Linton. From Eudoxus to Einstein: A History of Mathematical Astronomy. Cambridge: Cambridge University Press, 2004.
  • John North. Cosmos: An Illustrated History of Astronomy and Cosmology. Chicago: University of Chicago Press, 2008.
  • Neil deGrasse Tyson. The Five Points of Lagrange // Natural History Magazine. 2002. April.
  • Christophe Letellier. Chaos in Nature (World Scientific Series on Nonlinear Science Series A: Volume 81). Singapore: World Scientific Publishing Company, 2013.
  • Stuart Clark. Do Gravity Holes harbor planetary assassins? / New Scientist. 2009. Feb. 18.
  • Воробьев И. Троянцы // Квант. — М., 1976. — № 5. — С. 11—16.
  • Yoshida, Fumi; Nakamura, Tsuko (2005). «L4». The Astronomical Journal. 130 (6): 2900–11.
  • Martin Connors, Paul Wiegert, Christian Veillet. Earth’s Trojan asteroid // Nature. 475 (7357): 481–483. (27 July 2011).
  • F. Marzari, C. Murray, C. Lagerkvist and H. Scholl. Origin and evolution of Trojan asteroids // Asteroids III, eds. W.F. Bottke Jr. et al, University of Arizona Press, Tucson, Arizona, 725-738.
  • Gerald K. O’Neill. The Colonization of Space // Physics Today. September 1974.
  • Gerard K. O’Neill. The High Frontier. William Morrow and Co., NY, 1977; Anchor Books (Doubleday) 1982.
  • O’Neill, Gerard K. The High Frontier: Human Colonies in Space. — New York: William Morrow & Company, 1977.
  • T.A. Heppenheimer. Colonies in Space. National Space Society, 2007.
  • David Brandt-Erichsen. Brief History of the L5 Society // Ad Astra, the magazine of the National Space Society, Nov.-Dec., 1994.
  • Lyall F., Larsen P.B. Space law: a treatise. Ashgate Publishing, Ltd., 2009.
  • Adam Hadhazy. How We Could Actually Build a Space Colony // Popular Mechanics, Oct 2, 2014.
  • Burch, G. B. (1954). The Counter-Earth. Osiris, 11, 267–294.
  • Эдгар Уоллес. Планетоид 127 // Экзотический детектив. Том 5. Последняя граница. Планетоид 127 (сборник). Пермь: Янус, 1996.
  • Ben Barzman. Out of This World. London: Collins, 1960.
  • Владимир Набоков. Ада, или Радости Страсти: Семейная хроника //Набоков В. Собр. соч. американского периода: в 5 т. СПб.: Симпозиум, 2000. Т. 4.
  • Jeff Rovin. A Pictorial History of Science Fiction Films. New Jersey: Secaucus, 1975.
  • Leonard Maltin. Leonard Maltin’s Movie Guide 2020: The Modern Era. New York: Plume, 2014.
  • Fred Scharmen. Ground into Sky — The Topology of Interstellar // The Avery Review No. 6, 2020.
  • Артур Кларк. Свидание с Рамой. Фонтаны Рая. Лунная пыль (сборник). М.: ЭКСМО, 2014.
  • Роберт Хайнлайн. Фрайди. Киев: Альтерпресс, 1993.
  • Mak Raynolds. Lagrange Five. New York: Bantam Books, 1979.
  • John E. Stith. Memory Bank. New York: Ace, 1986.
  • Ed Naha. Paradise Plot. New York: Bantam Books, 1980.
  • Ben Bova. Colony. New York: Pocket, 1978.
  • Harry Harrison. Starworld. New York: Bantam, 1981.
  • Larry Niven. Protector. New York: Del Ray, 1973.
  • Larry Niven, Jerry Pournell. A Mote in the God’s Eye. New York: Simon & Schuster, 1974.
  • Орсон Скотт. Игра Эндера. Новосибирск: Интербук, 1994.
  • Чарлз Шеффилд. Единение разумов. М.: АСТ, 2003.
  • Андрей Балабуха. Нептунова арфа. М.: Молодая гвардия, 1986.

Где можно учиться по теме #астрономия

Семинар

Лекция астрофизика «Формула творения мира»

17 авг 2020 в 17:00
Семинар

Теория относительности

8 авг 2020 в 19:00
Семинар

Экзопланетный выходной с Сергеем Поповым (СПб)

8 сен 2020 в 12:30

Где можно учиться по теме #космос

Курс

Рейтинг
( 2 оценки, среднее 5 из 5 )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями: